Выражения, составленные из чисел и переменных с использованием операций сложения, вычитания и умножения, называются целочисленными выражениями. В этом случае произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени. Целочисленные выражения - это выражения, в которых помимо операций сложения, вычитания и умножения используется деление на число, отличное от нуля. Выражения, состоящие из чисел и переменных, в которых, кроме операций сложения, вычитания и умножения, используется деление на выражение с переменными, называются дробными выражениями.
Целочисленные и дробные выражения называются рациональными выражениями. Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Дробное выражение может не иметь смысла при некоторых значениях переменных.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных. Тождество - это равенство, которое верно для всех допустимых значений переменных.
Два выражения, которые принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях своих переменных, называются тождественно равными, а замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется преобразованием выражения в тождество.
Одночлены - это произведения чисел, переменных и их мощностей, а также чисел, переменных и их мощностей. Например, 8a3b, -1.5xy2z8, 12, c, m10 являются мономами. Степень монома - это сумма степеней всех входящих в него переменных. Например, степень монома 9a7b равна 8. Многочлен - это сумма одночленов. Многочленами считаются многочлены, состоящие из одного члена. Мощность стандартного многочлена равна большей из мощностей входящих в него членов. Мощность произвольного многочлена равна мощности тождественно равного многочлена стандартной формы.
При сложении многочленов используется правило скобок: если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого члена, заключенного в скобки.
При вычитании многочленов мы используем правило раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого в скобках. Чтобы умножить мононом на многочлен, нужно умножить мононом на каждый член многочлена и сложить полученные произведения.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, мы умножаем каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и складываем полученные произведения. Любое целое выражение может быть представлено в виде многочлена. Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. <Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс тройное произведение квадрата первого выражения и второго выражения плюс тройное произведение первого выражения и квадрата второго выражения плюс куб второго выражения.
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго выражения минус куб второго выражения. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. <Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы. Разложение многочлена на множители - это представление многочлена в виде произведения многочленов. Для того чтобы разложить многочлен на множители, мы используем скобки, группировку и применяем формулы сокращенного умножения. Это равенство остается в силе, даже если буквы a, b и c являются многочленами, где b и c - ненулевые многочлены.
Основное свойство дробей используется при сокращении дробей. Действия над рациональными дробями выполняются аналогично действиям над обычными дробями. Например: Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, вычтите числитель первой дроби из числителя второй, а знаменатель оставьте прежним. Например: b Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, сложите или вычтите их к общему знаменателю, а затем примените правила сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы умножить дробь на дробь, умножьте их числители и умножьте их знаменатели, и запишите первое произведение как числитель, а второе произведение как знаменатель.
Например: Любое рациональное выражение может быть представлено в виде рациональной дроби. Степени с целым числом. Свойства степени с целым числом. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а экспоненты степеней складывают. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого.
При экспоненте основание остается прежним, а степени перемножаются. При возведении произведения в степень каждый множитель умножается на эту степень, а результаты перемножаются. При экспоненте дроби числитель и знаменатель возводятся в одну и ту же степень, причем первый результат записывается в числителе, а второй - в знаменателе дроби. <Арифметический квадратный корень из а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а. Выражение, стоящее ниже квадратного корня, называется подкорнем. Свойства арифметического квадратного корня. Корень уравнения с одной переменной - это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Решить уравнение с одной переменной - значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями.
Если левая и правая части рационального уравнения являются целыми выражениями, то уравнение называется целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называется дробным уравнением. Уравнения с одной и той же переменной, имеющие одинаковые корни, называются равными.
Каждое из них имеет два корня: -6 и 6. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными. Уравнения обладают следующими свойствами: если изменить знак одной части уравнения на другой, то получится уравнение, равносильное данному; если умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же ненулевое число, то получится уравнение, равносильное данному.
Число a называется коэффициентом при переменной, число b - свободным членом. Число a называется первым коэффициентом, b - вторым коэффициентом, а c - свободным членом. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называется сокращенным квадратным уравнением. Такие уравнения обычно решаются путем разложения их левых сторон на множители.
Теорема Виета: Сумма корней сокращенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
При решении дробных рациональных уравнений целесообразно действовать следующим образом: найти общий знаменатель дробей в уравнении; умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить полученное целое уравнение; исключить из его корней те, которые обращают общий знаменатель в ноль. Например, решите уравнение Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель дроби, т. Решение уравнения с двумя переменными - это пара значений переменных, при которых уравнение превращается в верное равенство.
Это решение можно записать в виде: -5; 3. Уравнения с двумя переменными, имеющие одинаковые решения, называются равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также считаются равносильными. Каждое решение x; y уравнения с двумя переменными может быть представлено на координатной плоскости точкой с координатами x и y. Все такие точки образуют график уравнения. График линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямой.
Решением системы уравнений с двумя переменными является такая пара значений переменных, при которой каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют одинаковые решения, называются равносильными. Системы уравнений, которые не имеют решений, также считаются равносильными. Для решения систем уравнений с двумя переменными используются графический метод, метод подстановки и метод сложения. При графическом методе строят графики линий линейных уравнений и анализируют их расположение: если линии совпадают, то система имеет бесконечно много решений, а координаты любой точки линии являются решением системы; если линии параллельны, то система не имеет решений; если линии пересекаются, то система имеет только одно решение, а координаты точки пересечения линий являются решением системы.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки состоит в следующем: выразите из любого уравнения системы одну переменную через другую; подставьте полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы; решите полученное уравнение с одной переменной; подставьте значение переменной, найденное в одном из уравнений, и найдите соответствующее значение другой переменной.
При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения выполните следующее: перемножьте уравнения системы от руки, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами в уравнениях; сложите левую и правую части уравнений системы от руки; решите полученное уравнение с одной переменной; подставьте значение найденной переменной в одно из уравнений и найдите соответствующее значение другой переменной.
Свойства числовых неравенств. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Если умножить или разделить обе части верного неравенства на одно и то же положительное число, получится верное неравенство; если умножить или разделить обе части верного неравенства на одно и то же отрицательное число и поменять знак неравенства, получится верное неравенство.
Сложение и умножение числовых неравенств. Если сложить каждое верное неравенство с одинаковым знаком, получится верное неравенство. Если перемножить два одинаково подписанных совершенно верных неравенства с положительными числами слева и справа, получится верное неравенство. Решением неравенства с одной переменной является значение переменной, которое превращает его в истинное числовое неравенство. Любое другое число, меньшее 2, также удовлетворяет неравенству.
Решить неравенство с одной переменной - значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одинаковые решения, называются равными. Неравенства, которые не имеют решений, также считаются равносильными.
Равенства с одной переменной обладают следующими свойствами: если перенести из одной части неравенства в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное неравенство; если умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство; если умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное неравенство.
Если задача состоит в том, чтобы найти общие решения нескольких неравенств, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Решением системы неравенств с одной переменной является такое значение переменной, при котором каждое из неравенств системы верно. Решить систему неравенств - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.
Независимая переменная x иначе называется аргументом, а зависимая переменная y - функцией этого аргумента. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область функции.
По моему мнению Вы не правы. Я уверен. Пишите мне в PM, поговорим.
Автор, а где такой дизайн можно найти? Мне очень понравился…
Поздравляю, отличная мысль
Я думаю, что Вы не правы. Могу отстоять свою позицию. Пишите мне в PM, обсудим.
м...да грязь,насилие,жестокость.